Thứ Bảy, ngày 20 tháng 8 năm 2011

Ví dụ 2 - Bài toán Thống kê Ước lượng (dạng chéo)

Ví dụ: DẠNG BÀI THỐNG KÊ CHÉO

Tiến hành điều tra ở một số sản phẩm về chỉ tiêu X (%) và chỉ tiêu Y (kg/cm2) của một loại sản phẩm. Những thông tin cần thiết cho trong bảng dưới.

X          Y
90-95
95-100
100-105
105-110
1
2
3
X4
5
13
2
19
23
15
8
12
10
7



5
2

a)      Để ước lượng trung bình chỉ tiêu Y với độ chính xác 0.012kg/mm2 thì độ tin cậy là bao nhiêu?
b)      Gọi những sản phẩm có chỉ tiêu Y không quá 95kg/cm2 là loại 2. Hãy ước lượng trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại 2 với độ tin cậy 98% (giả thiết chỉ tiêu này có phân phối chuẩn).
c)      Giả sử khoảng ước lượng với độ tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1.59% ; 2.61%). Tìm X trung bình và phương sai mẫu của X.
d)     Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 90% thì độ chính xác là bao nhiêu?
e)      Tìm X4?

Giải:

a)      Để ước lượng trung bình chỉ tiêu Y với độ chính xác 0.012kg/mm2 thì độ tin cậy là bao nhiêu?

Do bài toán có liên quan đến ước lượng trung bình nên cần tính phương sai mẫu.

Ngoài ra, do chỉ tiêu Y quá lớn, để dễ kiểm tra đáp số nên chuyển về Y’ trung gian qua công thức:

Y’ = (Y – Y0)/hi, chọn Y0=102.5 và hi=5

Y
Y
n
Y'
Y'*n
Y'^2*n
90-95
92.5
20
-2
-40
80
95-100
97.5
65
-1
-65
65
100-105
102.5
29
0
0
0
105-110
107.5
7
1
7
7
sum

121

-98
152
average



-0.81
1.26






giá trị trung bình của Y (suy ra từ công thức Y')
98.45






phương sai mẫu của Y'


0.6






phương sai mẫu của Y D(Y)=5^2*D(Y')

15






phương sai mẫu có hiệu chỉnh của Y

15.13

à dựa vào công thức e ở phần lý thuyết à t-alpha = 3.39, với sai số e=0.012kg/mm2 tức 1.2kg/cm2, phương sai mẫu có hiệu chỉnh: 15.13, cỡ mẫu n là 121.
à độ tin cậy 1-alpha = 2*0.49966 = 0.99932

Vậy để ước lượng trung bình chỉ tiêu Y với độ chính xác 0.012kg/mm2 thì độ tin cậy là 99.93%.


b)      Gọi những sản phẩm có chỉ tiêu Y không quá 95kg/cm2 là loại 2. Hãy ước lượng trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại 2 với độ tin cậy 98% (giả thiết chỉ tiêu này có phân phối chuẩn).

Do bài toán có liên quan đến ước lượng trung bình nên cần tính phương sai mẫu.

Tính theo chỉ tiêu X của loại II nên tách bảng theo Y loại II rồi trong Y mới chia X.



LOẠI II




Y
X
n
X*n
X^2*n
90-95
1
5
5
5
90-95
2
13
26
52
90-95
3
2
6
18
sum

20
37
75
average


1.85
3.75





giá trị trung bình của X loại II

1.85





phương sai mẫu của X loại II

0.33





phương sai mẫu có hiệu chỉnh của X loại II
0.35

à dựa vào công thức tính sai số e của ước lượng trung bình ta có e=0.31, với t-alpha=2.34, khi alpha=2%, cỡ mẫu n là 20, phương sai mẫu có hiệu chỉnh là 0.35
à theo công thức ước lượng giá trị trung bình thì tính được giá trị trung bình tổng thể bằng với giá trị trung bình mẫu cộng với sai số e, tức 1.85+- 0.31, tức từ 1.54 đến 2.16%

Vậy giá trị trung bình của chỉ tiêu X cho sản phẩm loại II là từ 1.54 đến 2.16% khi độ tin cậy là 98%.

c)      Giả sử khoảng ước lượng với độ tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1.59% ; 2.61%). Tìm X trung bình và phương sai mẫu của X.


BẢNG TRÌNH BÀY NGANG[1]:

X
1
2
3
X4
sum
average
n
36
46
29
10
121

X*n
36
92
87
10*X4


X^2*n
36
184
261
10*X4^2



à có khoảng ước lượng chỉ tiêu X là (1.59%,2.61%) nên chỉ tiêu X trung bình là: (1.59+2.61)/2=2.1 và sai số e=0.51
à dựa vào công thức tính sai số e của ước lượng trung bình ta tính được phương sai mẫu có hiệu chỉnh S2=7.42, với t-alpha=2.06, khi alpha=4%, cỡ mẫu n là 121, sai số e là 0.51

Vậy phương sai mẫu có hiệu chỉnh của chỉ tiêu X là 7.42% bình phương/sản phẩm khi độ tin cậy là 96%.


d)     Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 90% thì độ chính xác là bao nhiêu?

à dựa vào công thức tính sai số e của ước lượng trung bình ta tính được độ chính xác e là e=0.41, với t-alpha=1.65, khi alpha=10%, cỡ mẫu n là 121, phương sai mẫu có hiệu chỉnh S2 là 7.42.

Vậy trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 90% thì độ chính xác là 0.41%.


e)      Tìm X4?

à dựa vào bảng ngang ở trên thì có công thức tính giá trị trung bình của X để tìm được X4
X = (36*1 + 46*2 + 29*3 + 10*X4) / 121 = 2.1 à 10*X4 = 39.1
à X4 = 3.91

Vậy giá trị của X4 là 3.91%.



[1] Áp dụng khi nào chỉ tiêu X có ít, nếu không sẽ bị tràn lề. Có thể thay bằng dạng dọc nhưng vẫn làm.


--- HẾT ---
xuanlanvu@gmail.com

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét